教程
如何制作包含公式、图表和证明过程的动画数学视频
将公式、证明或概率谜题制作成配有旁白的动画：随着讲解展示公式，根据精确数据绘制图表，设计有效的结构，并提供可直接复制的提示词。
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数学中有很多想法，只要看到它们动起来，瞬间就能理解：一个数量不断翻倍，直到超过月球；随着房间里的人越来越多，一条概率曲线逐渐上升；一段证明中，某个假设悄然崩塌。在白板上，它们只是一串静止的线条。而在动画中，它们会按照讲解的节奏，在观众眼前逐步呈现。
本指南将介绍如何不借助动画软件制作这类视频：你描述想法，检查步骤和脚本，AI智能体便会制作视频，其中包含排版规范的公式、根据精确数值绘制的图表，以及与每一步精准对应的旁白。
数学视频能展示什么
下面的每个视频都是用这种方式制作的。它们展示了数学讲解视频所需的主要工具：
- 随着讲解逐步写出的公式。 公式采用数学家书写的方式排版（分数、根式、求和、积分、矩阵），并逐项呈现。旁白提到某一项时，可以立即为它着色或圈出来。
- 根据精确数值绘制的图形和图表。 自行绘制的曲线、不断增高的柱形、逐步计数直到最终数值的数字。使用的是你提供的数值，而不是根据图片估算出来的近似值。
- 让计数变得可见。 人群中出现的一对对组合、不断堆叠的方块、逐渐填满的点阵。当一个数字大到难以想象时，视频可以展示它一点点堆积起来。
- 重复实验。 把游戏玩十次、一百次、一千次，观察统计结果逐渐稳定下来。蒙提霍尔问题这类违反直觉的结果，也会因此不再像是把戏。
23 people, one shared birthday
9:16 · 0:48
253对组合出现，随后概率曲线上升。
Should you switch doors?
9:16 · 1:05
通过反复进行游戏并计数，可以看出为什么换门更容易获胜。
Why the primes never run out
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逐步讲解欧几里得的证明，并附上两个完整例题。
Fold a Paper 42 Times and Reach Past the Moon
9:16 · 0:52
指数增长：翻倍增长直至超过月球。
The Rule of 72: How Fast Does Money Double?
1:1 · 0:54
将简化公式与真实增长曲线并列展示。
The Maths of Herd Immunity
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由人组成的网格和阈值公式。
一步一步：从想法到数学视频
- 说说你的想法、目标观众，以及希望展示的步骤。 如果跳过观众卡住的步骤，数学视频就会讲不清楚。如果你知道这些步骤，请列出来。如果你有喜欢的完整例题，请提供其中的数字。 为高中生制作一段60秒的视频，证明素数有无穷多个。使用欧几里得的论证：假设素数只有有限多个，把它们相乘再加一。展示这个例子：2 × 3 × 5 + 1 = 31。结尾说明，这个证明并没有声称新得到的数本身总是素数。
- 检查大纲。 智能体的第一条回复会给出一个大纲和几个选项（形式、语气、视觉风格、是否使用 AI 图片）。对于数学内容，请把大纲看作一系列步骤：有没有遗漏？顺序是否符合你会采用的教学顺序？
- 检查脚本中的计算是否正确。 录制之前，你就能先看到旁白稿。把其中每个数字都读一遍。此时最容易发现总数错误或步骤衔接不合理的问题，而且现在修改不花钱。
- 检查公式出现的时机。 在预览中，检查每个公式或高亮是否在旁白讲到相应内容时出现。如果出现得太早，就指出来：“等旁白说到加 1 后，再显示 +1。”
- 下载 MP4。 在 Chrome 或 Edge 中从预览界面导出。
如何构建数学讲解视频
无论主题是什么，能让人看完的视频往往都有相同的结构：
| 部分 | 作用 | 示例：生日悖论 |
|---|---|---|
| 吸引观众 | 在开头几秒提出一个令人惊讶的说法或问题。 | “只需23个人，共享生日的概率就超过50%。” |
| 直觉 | 为什么大多数人会猜错。 | 人们会拿自己和别人比较，而不是逐一比较所有人之间的每一对。 |
| 关键步骤 | 用视觉方式展示那个能解开问题的核心想法。 | 23个人可以组成253对，每一对都有生日相同的可能。 |
| 结果 | 用图表或计数呈现数字或公式。 | 人数达到23时超过50%的概率曲线。 |
| 要点 | 用一句话说明需要记住的内容。 | 数的是配对，不是人数。 |
你不必亲自写出这种结构；智能体会在大纲中提供一个方案。了解这种结构有助于你发现缺少了什么：大多数质量欠佳的数学视频都没有“直觉”这一步，因此结果出现时，观众还不知道它为何令人惊讶。
可复制使用的请求
用视觉证明讲解勾股定理：在直角三角形的每条边上画正方形，再通过重新排列证明 a² + b² = c²。45秒，正方形画幅。
制作一个关于复利的竖屏视频：用曲线展示年利率为5%的1,000英镑在30年间如何增长，并在同一张图表上与单利进行比较。
向从未学过微积分的人解释什么是导数：它是曲线的斜率，可以用一条与曲线相切并沿曲线移动的直线来表示。时长约90秒。
用两个简短的论证说明为什么0.999…等于1：一个用分数，另一个用代数。讲解时，将代数推导的每一步单独写成一行。
解释蒙提霍尔问题，然后在屏幕上玩100次游戏，并统计换门后赢了多少次。
请在请求中填写具体数字。图表会严格按照你提供的数据绘制。如果你想在利息示例中使用自己的利率，或使用班级正在练习的考试题，请把相关数字写进去；智能体不会擅自换成更整齐的数字。
计算机科学也是如此
算法是动态的数学，因此同样的呈现方式也很适合。可以把代码显示在屏幕上，随着旁白讲到相应位置逐行高亮，并在旁边配上展示该行作用的示意图。不断把一个范围分成两半，直到只剩下一个答案。也可以用八个开关组成一个字节。
常见错误，以及如何避免
- 步骤太多，超出了视频时长。60 秒的视频大约能容纳 140 个口语单词。包含十个步骤的证明需要更长时间，或者减少步骤。可以要求制作更长的视频（最长三分钟），也可以拆成两段。
- 只有公式，没有图示。如果一个场景只是在朗读方程式，可以要求加入一些可视内容：方程式的图像、一个完整的例题，或它所描述的形状。
- 跳过了“它为什么令人惊讶”。先展示错误的直觉。当观众刚刚猜出了不同的答案时，结果会显得更有意义。
- 不检查脚本就批准。视频中的每个数字都在你批准的旁白里。拿计算器对照着读一遍。
常见问题
公式周围的文字可以用另一种语言吗？
可以。公式本身使用标准数学符号，旁白和屏幕文字可以使用九种受支持语言中的任意一种，包括中文、日语和韩语。
我可以用教科书上的一道题制作视频吗？
可以。粘贴题目或附上题目的照片，然后要求制作一段展示详细解题过程的视频。录制前，请检查脚本中解答的每一行。
之后可以修改其中一个步骤吗？
可以。说明要修改哪个步骤以及如何修改。智能体会编辑相应部分，并且只重新录制有改动的旁白。