教學
如何製作包含公式、圖表和證明的動畫數學影片
將公式、證明或機率謎題製作成配有旁白的動畫：隨著講解呈現公式，根據精確數據繪製圖表，設計有效的架構，並提供可直接複製的提示詞。
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數學中有許多想法，只要看到它們動起來，瞬間就能理解：一個數量不斷倍增，直到超越月球；隨著房間裡的人愈來愈多，一條機率曲線逐漸攀升；一段證明中，某個假設悄然崩解。在白板上，它們只是一連串靜止的線條。而在動畫中，它們會按照講解的節奏，在觀眾眼前逐步呈現。
本指南將介紹如何不使用動畫軟體製作這類影片：你描述想法、檢查步驟和腳本，AI 智能體便會製作影片，其中包含排版妥善的公式、根據精確數值繪製的圖表，以及與每個步驟準確同步的旁白。
數學影片能呈現什麼
以下的每部影片都是以這種方式製作的。它們展示了數學解說影片所需的主要工具：
- 隨著講解逐步寫出的公式。 公式採用數學家書寫的方式排版（分數、根式、總和、積分、矩陣），並逐項呈現。旁白提到某一項時，可以立即為它著色或圈起來。
- 根據精確數值製作的圖形與圖表。 自行繪製的曲線、不斷長高的長條，以及逐步計數直到最終數值的數字。使用的是你提供的數值，而不是根據圖片估算出的近似值。
- 讓計數變得看得見。 人群中出現的一對對組合、不斷堆疊的方塊、逐漸填滿的點陣。當一個數字大到難以想像時，影片可以展示它一點一點堆積起來。
- 重複實驗。 把遊戲玩十次、一百次、一千次，觀察統計結果逐漸穩定下來。蒙提霍爾問題這類違反直覺的結果，也會因此不再像是把戲。
23 people, one shared birthday
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253對組合出現，接著機率曲線上升。
Should you switch doors?
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透過重複進行遊戲並計數，就能看出為什麼換門會贏。
Why the primes never run out
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逐步講解歐幾里得的證明，並附上兩個完整例題。
Fold a Paper 42 Times and Reach Past the Moon
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指數成長：倍增至超越月球。
The Rule of 72: How Fast Does Money Double?
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將簡化公式與實際成長曲線並列展示。
The Maths of Herd Immunity
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由人組成的格狀圖，以及門檻公式。
一步一步：從想法到數學影片
- 說說你的想法、目標觀眾，以及希望展示的步驟。 如果跳過觀眾卡住的步驟，數學影片就會講不清楚。如果你知道這些步驟，請列出來。如果你有喜歡的完整例題，請提供其中的數字。 為高中生製作一段60秒的影片，證明質數有無窮多個。使用歐幾里得的論證：假設質數只有有限多個，將它們相乘再加一。展示這個例子：2 × 3 × 5 + 1 = 31。結尾說明，這個證明並沒有聲稱新得到的數本身一定是質數。
- 檢查大綱。 智能體的第一則回覆會提供大綱和幾個選項（形式、語氣、視覺風格、是否使用 AI 圖片）。如果是數學內容，請把大綱當作一連串步驟來看：有沒有遺漏？順序是否符合你會採用的教學方式？
- 檢查腳本中的計算是否正確。 錄製之前，你就能先看到旁白稿。把其中每個數字都讀一遍。此時最容易發現總數錯誤或步驟銜接不合理的問題，而且現在修改不花錢。
- 檢查公式出現的時機。 在預覽中，檢查每個公式或醒目標示是否在旁白講到相應內容時出現。如果出現得太早，就指出來：「等旁白說到加 1 後，再顯示 +1。」
- 下載 MP4。 在 Chrome 或 Edge 中從預覽畫面匯出。
如何架構數學解說影片
無論主題是什麼，能讓人看完的影片往往都有相同的結構：
| 部分 | 作用 | 範例：生日悖論 |
|---|---|---|
| 吸引觀眾 | 在開頭幾秒提出一個令人驚訝的說法或問題。 | 「只需23個人，共享生日的機率就超過50%。」 |
| 直覺 | 為什麼大多數人會猜錯。 | 人們會拿自己和別人比較，而不是逐一比較所有人之間的每一對。 |
| 關鍵步驟 | 以視覺方式呈現那個能解開問題的核心想法。 | 23個人可以組成253對，每一對都有生日相同的可能。 |
| 結果 | 用圖表或計數呈現數字或公式。 | 人數達到23時超過50%的機率曲線。 |
| 重點 | 用一句話說明需要記住的內容。 | 數的是配對，不是人數。 |
你不必親自寫出這種結構；智慧智能體會在大綱中提出一個方案。了解這種結構有助於你發現缺少了什麼：大多數品質不佳的數學影片都沒有「直覺」這一步，因此結果出現時，觀眾還不知道它為何令人驚訝。
可複製使用的請求
用視覺證明講解畢氏定理：在直角三角形的每條邊上畫正方形，再透過重新排列證明 a² + b² = c²。45秒，正方形畫幅。
製作一段關於複利的直式影片：用曲線呈現年利率為5%的1,000英鎊在30年間如何增長，並在同一張圖表上與單利比較。
向從未學過微積分的人解釋什麼是導數：它是曲線的斜率，可以用一條與曲線相切並沿著曲線移動的直線來表示。約90秒。
用兩個簡短的論證說明為什麼0.999…等於1：一個使用分數，另一個使用代數。講解時，將代數推導的每一步各寫成一行。
解釋蒙提霍爾問題，接著在畫面上玩100次遊戲，並計算換門後贏了幾次。
請在請求中填入具體數字。圖表會完全依照你提供的數據繪製。如果你想在利息範例中使用自己的利率，或使用班上正在練習的考題，請填入相關數字；智能體不會擅自將它們換成較整齊的數字。
電腦科學也是如此
演算法是動態的數學，因此同樣的呈現方式也很適合。可以把程式碼顯示在螢幕上，隨著旁白講到相應位置逐行標示，並在旁邊配上展示該行作用的示意圖。持續將範圍一分為二，直到只剩下一個答案。也可以用八個開關組成一個位元組。
常見錯誤，以及如何避免
- 步驟太多，超出了影片長度。60 秒的影片大約能容納 140 個口語單字。包含十個步驟的證明需要更長時間，或者減少步驟。可以要求製作更長的影片（最長三分鐘），也可以拆成兩段。
- 只有公式，沒有圖示。如果一個場景只是在朗讀方程式，可以要求加入一些可視內容：方程式的圖表、完整的解題範例，或它所描述的形狀。
- 跳過了「它為什麼令人驚訝」。先展示錯誤的直覺。當觀眾剛猜出不同的答案時，結果會顯得更有意義。
- 不檢查腳本就核准。影片中的每個數字都在你核准的旁白裡。拿計算機對照著讀一遍。
常見問題
公式周圍的文字可以使用另一種語言嗎？
可以。公式本身使用標準數學符號，旁白和螢幕文字可以使用九種支援語言中的任何一種，包括中文、日文和韓文。
我可以用教科書上的一道題目製作影片嗎？
可以。貼上題目或附上題目的照片，然後要求製作一段展示詳細解題過程的影片。錄製前，請檢查腳本中解答的每一行。
之後可以修改其中一個步驟嗎？
可以。說明要修改哪個步驟以及如何修改。智能體程式會編輯該部分，並且只重新錄製有變動的旁白。